f(x)=0의 해를 구하는 방법 - 이분법, 뉴턴법, 할선법

⦁ 이분법의 개념

 
⦁ 이분법 구현

def bisection(f, a, b, nmax, eps):
    fa, fb = f(a), f(b)
    if np.sign(fa) == np.sign(fb):
        print("input: ", a, b, fa, fb)
        print("function has same signs at a and b")

    error = b - a
    for n in range(nmax):
        error = error/2
        c = a + error
        fc = f(c)
        print ("{:<4} {:<40} {:<40} {:<40}".format(n, c, fc, error))
        
        if np.abs(error) < eps:
            return
        
        if np.sign(fa) != np.sign(fc):
            b = c
            fb = fc
        else:
            a = c
            fa = fc

# 함수 정의
f = lambda x: x**2 - 2

# 이분법 실행
bisection(f, 0, 2, 100, 10e-10)

 
⦁ 뉴턴법의 개념

 
⦁ 뉴턴법 구현

def newton(f, fpx, x, nmax, e, d):
    fx = f(x)
    print(0, x, fx)
    
    for n in range(1, nmax):
        fpx = fp(x)
        if np.abs(fpx) < d: # 언더플로 방지
            print("small derivative")
            return 
        
        d = fx/fpx
        x = x - d
        fx = f(x)
        print(n, x, fx)
        if np.abs(d) < e:
            print("convergence")
            return
        
f = lambda x: 3*x + np.cos(x) - 5
fp = lambda x: 3 - np.sin(x)
newton(f, fp, 2, 30, 1e-6, 1e-8)

 
⦁ 할선법의 개념

 
⦁ 할선법 구현

def secant(f, a, b, nmax, e):
    fa = f(a)
    fb = f(b)
    if np.abs(fa) > np.abs(fb):
        a, fa, b, fb = b, fb, a, fa
    print(0, a, fa)
    print(1, b, fb)
        
    for n in range(2, nmax):
        if np.abs(fa) > np.abs(fb):
            a, fa, b, fb = b, fb, a, fa
        
        d = (b - a)/(fb - fa)
        b = a # b 업데이트 
        fb = fa
        d = d*fa
        if np.abs(d) < e:
            print("convergence")
            return
        a = a - d # a 업데이트 
        fa = f(a)
        print(n, a, fa)

f = lambda x: 3*x + np.cos(x) - 5
secant(f, 0, 2, 30, 1e-6)